اكنون با استفاده از رابطه ي (1) و به كمك استقرا ، لم اثبات مي شود.(جزئيات به عهده ي خواننده).

بنابراين مي توان مثلث خيام - پاسكال را به صورت زير در نظر گرفت: 

  

قضيه:در مثلث خيام - پاسكال از رديف سوم به بعد ،هيچ دو عنصر مخالف با 1 در يك رديف ، نسبت به هم اول نيستند.
ابتدا توجه مي كنيم كه براي   داريم :

مساله: آيا مي توانيد رابطه ي (2) را با يك بحث تركيبياتي اثبات كنيد.
حال نشان مي‌دهيم كه براي 0k>m داريم : .
فرض كنيم اين طور نباشد،يعني 1=()  با توجه به رابطه ي (2)، عاد مي‌كند را  .چون نسبت به هم اول اند. پس طبق لم اقليدس عاد مي‌كند را، ولي اين ممكن نيست چرا كه .

به اين ترتيب ، قضيه اثبات مي شود.